Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы


Условие эквивалентности воздействия случайного процесса изменения параметра и постоянной, длительно допустимой величины в обозначениях теории вероятностей записывается следующим образом:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

где символом M обозначено математическое ожидание функции.

Любое значение случайного процесса связано с его характеристиками соотношением:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

Обозначая значение параметра βi , соответствующее Хнорм, как βэкв и подставляя (П7.2) в (П7.1), получаем выражение:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

из которого численное значение βэкв определяют путем подстановки развернутого выражения функции f (X) для конкретного оборудования.

Наиболее распространенным видом функции f (X) в энергетических задачах является степенная функция

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

Например, нагрев оборудования пропорционален квадрату тока, срок службы ламп накаливания зависит от напряжения в 14 степени и т. п. В этом случае выражение (П7.3) приобретает вид:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

 

Математическое ожидание k-й степени случайной величины определяют по известной формуле:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы


где ϕ (X) – закон распределения значений случайного процесса X (t).

В дальнейшем для упрощения записи характеристики случайной величины X будем обозначать тх , σx , и γ х.

Для нормального закона распределения

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

Производя замену переменной

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

и подставляя (П7.8) в (П7.7), получаем:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы




Используя формулу бинома Ньютона, приведем (П7.11) к сумме интегралов, каждый из которых в соответствии с рекуррентным соотношением

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

сводится при четном k к интегралу

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

а при нечетном k к интегралу

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

В результате слагаемые (П7.10), содержащие нечетные степени σx , в окончательном выражении будут отсутствовать, а слагаемые с четными степенями σx будут иметь сомножитель

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

 

Подкоренное выражение (П7.6) приобретет вид:

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы


 

Например, при k = 7

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

 

Зависимости βэкв = f ( k, γх ), вычисленные по формуле (П7.6), приведены на рис. 8.9, а зависимости вероятности выхода случайного процесса за установленный предел, при которой его воздействие аналогично воздействию постоянной величины параметра, равной этому пределу (в случае нормального закона распределения) – на рис. 8.10. Результаты вычислений показывают, что допустимое значение вероятности выхода случайного процесса за установленный уровень зависит от характеристик процесса и не может быть нормировано однозначно. Значение вероятности, равное 0,95, является завышенным даже для ламп накаливания (k = 14).

Выражение (П7.3) справедливо для любого вида функции f (X). В практически важном случае линейно-квадратичной зависимости

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

выражение (П7.3) имеет вид квадратного уравнения

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

откуда βэкв получают как положительный корень уравнения

Вероятность выхода случайного процесса за установленный уровень: расчет, формулы

 


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: