Условие эквивалентности воздействия случайного процесса изменения параметра и постоянной, длительно допустимой величины в обозначениях теории вероятностей записывается следующим образом: где символом M обозначено математическое ожидание функции. Любое значение случайного процесса связано с его характеристиками соотношением: Обозначая значение параметра βi , соответствующее Хнорм, как βэкв и подставляя (П7.2) в (П7.1), получаем выражение: из которого численное значение βэкв определяют путем подстановки развернутого выражения функции f (X) для конкретного оборудования. Наиболее распространенным видом функции f (X) в энергетических задачах является степенная функция
Например, нагрев оборудования пропорционален квадрату тока, срок службы ламп накаливания зависит от напряжения в 14 степени и т. п. В этом случае выражение (П7.3) приобретает вид:
Математическое ожидание k-й степени случайной величины определяют по известной формуле: где ϕ (X) – закон распределения значений случайного процесса X (t). В дальнейшем для упрощения записи характеристики случайной величины X будем обозначать тх , σx , и γ х. Для нормального закона распределения Производя замену переменной и подставляя (П7.8) в (П7.7), получаем: Используя формулу бинома Ньютона, приведем (П7.11) к сумме интегралов, каждый из которых в соответствии с рекуррентным соотношением сводится при четном k к интегралу а при нечетном k к интегралу
В результате слагаемые (П7.10), содержащие нечетные степени σx , в окончательном выражении будут отсутствовать, а слагаемые с четными степенями σx будут иметь сомножитель
Подкоренное выражение (П7.6) приобретет вид: Например, при k = 7
Зависимости βэкв = f ( k, γх ), вычисленные по формуле (П7.6), приведены на рис. 8.9, а зависимости вероятности выхода случайного процесса за установленный предел, при которой его воздействие аналогично воздействию постоянной величины параметра, равной этому пределу (в случае нормального закона распределения) – на рис. 8.10. Результаты вычислений показывают, что допустимое значение вероятности выхода случайного процесса за установленный уровень зависит от характеристик процесса и не может быть нормировано однозначно. Значение вероятности, равное 0,95, является завышенным даже для ламп накаливания (k = 14).
Выражение (П7.3) справедливо для любого вида функции f (X). В практически важном случае линейно-квадратичной зависимости выражение (П7.3) имеет вид квадратного уравнения откуда βэкв получают как положительный корень уравнения