Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебания


При обработке сигналов важно знать, какие составляющие колебания являются энергетически значимыми и какова ширина спектра колебания. Ответ на эти вопросы дают соотношения Рэлея — Парсеваля для периодических и непериодических колебаний.

Среднюю мощность периодического сигнала S(t) в соответствии с выражением (2.10) можно представить в виде
Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебанияВозведя в квадрат выражения под знаком суммы, получим слагаемые вида
Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебания

Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебанияинтегрирование произведений косинусов и синусов по свойству ортогональности функции — нуль.

Следовательно,
Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебанияВ математике выражение (2.19) называется равенством Рэлея—Парсеваля, из которого следует, что средняя мощность периодического колебания равна сумме средних мощностей составляющих его гармоник.

Зависимость P = f(ω) называется спектром мощности периодического колебания.


Для непериодических колебаний равенство Рэлея—Парсеваля имеет вид
Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебанияЛевая часть равенства (2.20) определяет энергию колебания. Следовательно, Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебания — есть не что иное как энергия колебания, приходящаяся на один радиан полосы частот для текущего значения ω. Иными словами, G(ω) является спектральной плотностью энергии колебания S(t) и характеризует распределение энергии в полосе частот колебания. Спектры мощности и спектральные плотности энергии называются энергетическими спектрами.

Теоретически реальные колебания как ограниченные во времени имеют бесконечный спектр. Однако рассмотрение спектров различных колебаний (например, представленных в табл. 2.1) показывает, что спектральная плотность амплитуд уменьшается (монотонно или немонотонно) с ростом частоты.

Этот же вывод следует и из анализа равенств Рэлея — Парсеваля (2.19) и (2.20), в соответствии с которыми Аk → 0 при k → ∞, а также (Формула) при ω → ∞. В противном случае ряд (2.19) был бы расходящимся (так как мощность бесконечна) или интеграл (2.20) был бы расходящимся (так как энергия бесконечна). Это позволяет условно говорить о занимаемой полосе частот, или ширине спектра колебания. Наиболее распространена так называемая энергетическая ширина спектра, определяемая как полоса частот ΔF в пределах которой сосредоточена бОльшая часть средней мощности (энергии) колебаний.

Строгих правил относительно процентного содержания мощности (энергии) в пределах занимаемой полосы частот часто не существует (обычно это 90 … 99%). Соответственно, задавая значение δ = 0,9 … 0,99, ширину полосы ΔF можно определить с использованием соотношений (2.19) или (2.20).

Так, например, для непериодических колебаний, используя выражение (2.20), можно записать
Распределение мощности и энергии в спектре колебания: ширина спектра колебанияРешив это интегральное уравнение (обычно численно), можно определить ΔF.


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: