Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции Уолша


Обобщенный ряд Фурье

Пусть в комплексном пространстве Гильберта Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции Уолша задана полная система комплексных ортогональных функций {ψ,(0}, где i = 1, 2, … ∞.

Система ортогональных функций называется полной, или замкнутой, если не существует непрерывной функции, не равной нулю тождественно и ортогональной ко всем функциям системы.

Функции являются попарно ортогональными, т.е. можно записать:
Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции УолшаЕсли норма функций ||ψi(t)|| = 1, то функции называются ортонормированными. Можно также показать, что функции являются линейно-независимыми и, следовательно, образуют координатный базис, при котором справедливо разложение (2.3). В этом случае говорят, что задан ортогональный (или ортонормированный) базис.

Пусть некоторый сигнал S(t) является сигналом с интегрируемым квадратом, который можно представить в виде ряда

Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции Уолша— коэффициенты разложения в ортогональном базисе.

Определим коэффициенты разложения ci, для чего умножим обе части равенства на базисную функцию с произвольным номером j и произведем интегрирование по времени:

Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции Уолша
Поскольку базис является ортогональным, то в правой части равенства останется только один член суммы с номером i = j. Тогда
Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции УолшаИными словами, коэффициент разложения равен скалярному произведению сигнала S(t) и базисной функции.

Выражение (2.8), в котором коэффициенты определяются равенством (2.9) при i = j, называется обобщенным рядом Фурье и ему можно дать геометрическую трактовку. Коэффициенты обобщенного ряда Фурье являются проекциями вектора сигнала на базисное направление, т. е. на ортогональные оси (единичные орты).

В качестве ортогонального базиса в ТЭС широко применяется система тригонометрических (гармонических) функций.

(Подробнее это будет рассмотрено далее.) Кроме того, в качестве примера можно рассмотреть использование ортогональных функций Уолша, представляющих собой систему функций типа прямоугольных волн, первые четыре из которых показаны на рис 2.8. В общем случае функции Уолша могут быть построены на основе известных в математике матриц Адамара. Эти функции удобно задавать на отрезке t ∊ [0, T], где они равны ±1, их принято обозначать wal(k, θ ), где k — номер функции Уолша; θ = t / T — безразмерное время.

Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции Уолша


Рис. 2.8. ВременнЫе диаграммы первых четырех функций Уолша

Представление сигнала в виде обобщенного ряда Фурье на основе функций Уолша имеет вид
Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции УолшаДля проверки свойства ортогональности найдем скалярное произведение, например, первой и второй функций Уолша:

Ряд Фурье в теории связи: функции, разложение, функции УолшаПомимо ортогональности функции Уолша обладают еще свойством «мультипликативности», т.е. произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша:
wal(i, θ)wal(k, θ) = wal(p, θ ),
где p = i ⊕ k; ⊕ — знак сложения по модулю 2.

Для такого сложения числа i и k представляются в двоичной форме и суммируются следующим образом:
0 ⊕ 0 = 0; 1 ⊕ 1 = 0; 1 ⊕ 0 = 1; 0 ⊕ 1 = 1.

Например: i = 1 => 001 (двоичн.), k = 3 => 011 (двоичн.), тогда 001 ⊕ 011 = 010 => 2 (десятичн.).

Иными словами, wal(1, θ)wal(3, θ) = wal(2, θ), в чем нетрудно убедиться.

К функциям Уолша можно применять логические операции, поэтому они находят широкое применение в устройствах формирования и цифровой обработки сигналов на базе микропроцессоров. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи информации. В настоящее время они также применяются в сотовой связи на основе стандарта CDMA и его модификаций.


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: