Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы


Из рассмотренных ранее преобразований Фурье следует, что для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с частотами, находящимися в интервале от нуля до бесконечности. Однако физически такая процедура нереальна. Кроме того, вклад составляющих при ω → 0 пренебрежимо мал, поскольку энергия сигнала является ограниченной.

Наконец, любое устройство для передачи и приема сигналов имеет конечную ширину полосы пропускания. Поэтому обычно рассматриваются сигналы, спектральная плотность которых отличается от нуля в некоторой ограниченной полосе частот.

С другой стороны, используемые в системах телекоммуникаций линии радио- и проводной связи также имеют ограничения частотного ресурса. Следовательно, существует серьезная проблема: как в ограниченном диапазоне частот поместить все увеличивающееся множество сигналов, спектры которых состоят из компонент, сосредоточенных в некоторой сравнительно узкой полосе частот. Одним из возможных путей решения данной проблемы может быть передача не самих полосовых сигналов, а лишь их выборок или дискретных отсчетов, содержащих информацию обо всем сигнале. Однако при этом возникает естественный вопрос: можно ли это сделать и с каким временнЫм интервалом должны производиться эти выборки, чтобы не потерять даже части передаваемой информации?

Ответ на этот вопрос содержится в фундаментальной работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи», которая появилась в 1933 г. и принадлежала 25-летнему инженеру В. А. Котельникову.

Именно ему в этой работе удалось сделать то, что предопределило перспективы развития теории и техники телекоммуникаций на многие годы вперед.

Отметим, что похожие вопросы исследовали и другие специалисты и ученые. Так, в 1915 г. Е.Т. Уиттакер, занимаясь математической теорией интерполяции, доказал теорему, посвященную проблеме аппроксимации целых функций конечной степени. В математике это была одна из рядовых теорем, и к теории связи она не имела никакого отношения. В 1928 г. американец Найквист, решая задачу передачи телеграфных (дискретных) сообщений без искажений, обратил внимание на возможность взятия выборок сигнала через интервалы времени, обратно пропорциональные ширине его спектра. Однако решаемая им проблема отличалась от проблемы передачи аналоговых полосовых сигналов, рассматривавшихся В.А. Котельниковым, хотя здесь и имелись общие моменты.

Наконец, в 1948 г. К.Э. Шеннон вновь доказал теорему, повторяющую результаты работы В.А. Котельникова, которую опубликовали весьма ограниченным тиражом, и она могла быть неизвестна за границей.

В настоящее время специалистам связи, радиотехники и других смежных областей науки и техники хорошо знакома «теорема отсчетов», нередко именуемая в отечественной литературе теоремой Котельникова. В некоторых источниках ее также называют теоремой отсчетов (выборок) Уиттакера—Котельникова—Шеннона. На самом деле В.А. Котельников доказал семь теорем, две из которых являются основополагающими, а остальные их дополняют и конкретизируют. Их значение так велико, что по сути они являются основой современной теории и практики электрической связи, на которой построены многие системы телекоммуникаций.

Формулировки основных теорем Котельникова

Теорема 1.

Любую функцию S(t), состоящую из частот от 0 до Fв периодов в секунду, можно представить рядом
Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулыгде k — целые числа; S(kΔt) — постоянные, зависящие от S(t); Fв — верхняя частота спектра.

И наоборот, любая функция S(t), представленная этим рядом, состоит лишь из частот от 0 до Fв периодов в секунду.

Выражение (2.21) принято называть рядом Котельникова. Если обратиться к обобщенному ряду Фурье (2.8), то легко увидеть, что в выражении (2.21) базисными по существу являются отсчетные функции
Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы
представленные на рис. 2.11, а коэффициенты разложения по данному базису (Формула).

Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Рис. 2.11. График функции отсчетов

Теорема 2.

Любую функцию (сигнал) S(t), состоящую из частот от 0 до Fв периодов в секунду, можно непрерывно передавать с любой точностью с помощью чисел, следующих друг за другом через интервалы времени Δt = 1 / (2Fв) секунд.

Отметим, что промежутки времени, через которые берутся отсчеты, получили название «интервалов Найквиста». Доказательство данной теоремы В.А. Котельников построил на следующих рассуждениях. Если измерять величину S(t) при t = n / (2Fв), где n — целое число, то можно записать
Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулыВсе члены ряда (2.21) для данного значения t обращаются в нули. Исключение составляет член с номером k = n, который можно вычислить путем раскрытия неопределенности. Так как он равен величине (Формула), значит, через каждую 1 / (2Fв)-ю секунду можно узнавать очередное значение S(kΔt). Если эти значения передавать по очереди через интервалы времени Δt, то по ним можно согласно соотношению (2.21) восстановить функцию S(t) с любой степенью точности.

Вторая теорема Котельникова вошла во многие учебники под названием теоремы отсчетов.

Приведем теперь основные свойства функции отсчетов.

  1.  В момент времени t = 0 функция отсчетов имеет максимальное значение, равное единице.
    Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы
  2.  В моменты времени t = ±kΔt = k / (2Fв), где k = 1, 2, …, οτсчетные функции обращаются в нуль.
  3. Ширина главного лепестка функции на нулевом уровне равна 1/ Fв.
  4. Отсчетные функции являются ортогональными в бесконечно большом интервале времени, т.е.
    Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Рассмотрим теперь процесс восстановления непрерывного сигнала S(t) по его дискретным отсчетам. Из теоремы отсчетов следует, что для передачи по каналу связи сигнала S(t) с ограниченным спектром необходимо выполнить следующие операции.


  1. Взять отсчеты мгновенных значений сигнала S(kΔt) через интервалы времени Δt = k / (2Fв), где k = 1, 2, …, т.е. найти величины (Формула).
  2. Передать по каналу найденные отсчеты любым из возможных методов.
  3. На приемной стороне восстановить переданные отсчеты и сформировать короткие импульсы с длительностью (Формула) и амплитудами S(kΔt).
  4. Сформировать функции отсчетов (Формула), k = 1, 2, …, как показано на рис. 2.12.
  5. Произвести суммирование найденных функций и получить в результате сигнал (Формула), который будет пропорционален (или равен) переданному сигналу S(t).

Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Рис. 2.12. Формирование отсчетов аналогового сигнала в дискретные моменты времени

Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Рис. 2.13. Амплитудно-частотная (а) и фазо-частотная (б) характеристики фильтров, формирующих функции отсчетов: 1 — идеального; 2 — реального

Для получения отсчетных функций обычно применяется фильтр нижних частот с шириной полосы пропускания, равной Fв, на вход которого следует подать короткий импульс с длительностью (Формула) и амплитудой S(kΔt). Если фильтр считать идеальным, а на его вход подавать дельта-импульс δ(t), то отсчетная функция на выходе не будет иметь искажений, так как АЧХ k(f) фильтра равномерная, а ФЧХ φ(f) — линейная (рис. 2.13):
Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Погрешности при восстановлении сигналов

На самом деле при восстановлении сигнала возникают погрешности. Рассмотрим кратко причины их возникновения на практике.

  1. Характеристики реальных фильтров k(f) и φ(f) отличаются от идеальных (см. кривые 2 на рис. 2.13), что приводит к отклонениям реальных отсчетных функций от идеальных, а следовательно, к появлению некоторых неточностей восстановления непрерывного сигнала S(t).
  2. Для восстановления сигнала по его отсчетным функциям необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда Котельникова (2.21). Однако реальные сигналы S(t) имеют ограниченные спектры и рассматриваются в конечном интервале времени Т. В связи с этим точное разложение приходится заменять приближенным, т.е. при котором также суммируется конечное число членов ряда:

Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы

Число отсчетов, определяющее (Формула), при Δt = 1 / (2Fв) составляет
n = T / Δt + 1 = 2FвT + 1 (обычно (Формула)), поэтому n = 2FвT.

Параметр n = 2FвT, иногда обозначаемый символом В и называемый «базой сигнала», играет важную роль в ТЭС при рассмотрении сложных сигналов.

Ясно, что погрешность при восстановлении сигнала будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.

3. Спектры реальных сигналов не равны нулю за пределами граничной частоты. Основная доля энергии сигналов приходится на частоты от нуля до Fв, но небольшая доля этой энергии может быть и выше граничной частоты. Значение относительной среднеквадратичной погрешности можно определить следующим выражением:
Ряд Котельникова: теорема отсчетов, первая и вторая теорема, формулировки, формулы
где ΔЕ — часть энергии, которая выходит за пределы полосы частот [0, Fв] и не учитывается при восстановлении сигнала; Es — полная энергия сигнала.

При этом оказывается, что погрешность за счет отбрасываемой части спектра сигнала становится тем больше, чем «медленнее» убывает спектр за пределами граничной частоты Fв.

Области применения теоремы отсчетов

В заключение отметим основные области применения теоремы отсчетов.

  1. Упрощение представления сигналов или помех. Вместо непрерывных функций они задаются наборами отсчетных значений, и при этом не происходит потерь информации, содержащейся в непрерывном сигнале.
  2. Передача непрерывных сообщений по каналам связи с помощью дискретных или цифровых сигналов.
  3. Цифровая обработка непрерывных сигналов.

Примеры использования теоремы отсчетов будут рассмотрены далее.


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: