Общие сведения
Пусть имеется гармоническое колебание
где Sm, ω0, φ — соответственно амплитуда, частота и начальная фаза сигнала; ψ(t) — текущая фаза сигнала.
Этот же сигнал можно представить в виде
где — сопряженный сигнал, полученный из исходного сигнала поворотом его фазы на −π/2.
На комплексной плоскости такой сигнал S изображается в виде вектора, как показано на рис. 2.14.
Негармонические сигналы подобно сигналу (2.24) можно представить в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) Sm(t) и полной фазой ψ(t), т.е. S(t) = Sm(t) cosψ(t). Однако такое представление в общем случае является неоднозначным.
Действительно, пусть задан сигнал S(t). Выбрав для него произвольную функцию S1(t) и считая (Формула), а (Формула), получим (Формула).
Выбрав затем другую функцию S2(t), можно получить другой набор «амплитуд» и фаз: (Формула) и т.д..
Рис. 2.14. Геометрическое представление комплексного сигнала
Для того чтобы представление было однозначным, как в случае гармонического сигнала, сопряженный сигнал должен быть получен из исходного сигнала посредством поворота всех его гармонических составляющих на −π/2.
Рассмотрим теперь сигнал без постоянной составляющей, представленный в виде ряда
Определим для него сопряженный сигнал из исходного сигнала посредством поворота всех его составляющих на −π/2:
Тогда комплексный сигнал будет иметь вид
(25)
а его реальная часть
Отметим, что сопряженный сигнал (Формула) можно получить из исходного, не прибегая к спектральным представлениям, а используя интегральное преобразование Гильберта:
(26)
Исходный сигнал S(t) получим из сопряженного сигнала с помощью обратного преобразования Гильберта:
Функция, называемая ядром преобразования Гильберта, имеет разрыв при t = τ, поэтому интегралы следует понимать в смысле их главного значения, например:
Часто применяется символическая запись преобразований Гильберта:
Нетрудно увидеть, что прямое преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сигнала S(t) через фильтр с импульсной характеристикой (Формула), а обратное преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сопряженного сигнала (Формула) через фильтр, импульсная характеристика которого (Формула).
Действительно, можно записать
(Формула).
Подставив в это выражение импульсную характеристику вида (Формула), получим формулу (2.26).
Дадим теперь определение рассмотренного сигнала.
Комплексный сигнал, полученный на основе преобразования Гильберта, называется “аналитическим” и записывается в виде выражения (2.25), где исходный сигнал есть реальная часть аналитического сигнала. Заметим, что выражение (2.25), в котором S(t) и (Формула) связаны между собой преобразованиями Гильберта, во-первых, позволяет получить однозначное представление вида (2.24), а во-вторых, обусловливает ряд важных свойств сигнала (Формула), из-за которых он получил название «аналитический».
Приведем (без доказательства) лишь важнейшие свойства аналитического сигнала, используемые в теории связи.
- Преобразования Гильберта являются линейными. Так, для прямого преобразования Гильберта это свойство можно записать в виде
причем при любых постоянных a1 и a2. Справедливость этого свойства следует непосредственно из выражений (2.26) и (2.27). - Преобразования Гильберта от постоянной величины тождественно равны нулю, т.е.
Это свойство следует из того факта, что ядро преобразования Гильберта есть нечетная функция аргумента τ относительно точки t = τ, следовательно, интеграл от нечетной функции (Формула) в пределах (−∞, ∞) равен нулю. - Если при каком-нибудь t = τ исходный сигнал достигает экстремума (максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Сказанное иллюстрирует рис. 2.15, где совмещены графики S(τ) (рис. 2.15, а) и ядра преобразования (Формула) (рис. 2.15, б) в точке t, где функция имеет максимум. Результат преобразования Гильберта (Формула) показан на рис. 2.15, в.
Нетрудно увидеть, что функция (Формула) является нечетной функцией аргумента τ, а значит, интеграл от нее в симметричных пределах (−∞, ∞) будет равен нулю.
4. Преобразование Гильберта от гармонических сигналов имеет вид
где.
Очевидно, что для положительных частот
H[cosωt] = sinωt;
H[sinωt] = −cosωt.
Доказательство каждого из указанных свойств следует из анализа сведений, приведенных в данном подразделе.
5. Сдвиг фаз всех составляющих действительного сигнала на угол φ соответствует умножению аналитического сигнала на (Формула), т.е. аналитический сигнал после поворота фаз, откуда легко вычислить и действительный сигнал:
Рис. 2.15. Пояснение свойств преобразований Гильберта:
а — исходный сигнал; б — ядро преобразования; в — сопряженный сигнал
Использование понятия аналитического сигнала для определения формы действительного сигнала после поворота фаз всех его спектральных составляющих на один и тот же угол φ существенно облегчает задачу нахождения действительного сигнала. В противном случае для этого было бы необходимо с помощью преобразования Фурье найти комплексную спектральную плотность, произвести смещение фаз и затем проделать обратное преобразование Фурье.
6. Сдвиг частот всех составляющих сигнала на некоторую величину f0 при f > 0 или f < 0 (преобразование частоты сигнала, причем само изменение частоты f0 может быть как положительным, так и отрицательным) соответствует умножению аналитического сигнала (Формула) на множитель (Формула), т.е.
откуда легко найти и действительный сигнал:
Без использования понятия аналитического сигнала решить эту задачу также было бы весьма сложно.
7. В спектре аналитического сигнала содержатся только положительные частоты. Спектр, полученный посредством преобразования Фурье, имеет вид
Аналогично в спектре комплексно-сопряженного аналитического сигнала
содержатся только отрицательные частоты:
Данные соотношения вытекают из формулы Эйлера.
8. Произведение аналитического сигнала (Формула) и сопряженного с ним аналитического сигнала (Формула) равно квадрату огибающей исходного действительного сигнала S(t):
Таким образом, модуль аналитического сигнала (Формула) равен огибающей сигнала, т.е. (Формула).
Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота сигнала
Комплексный сигнал, как известно, можно представить в экспоненциальной форме:
откуда следует, что
Решая два последних уравнения относительно Sm(t) и ψ(t), найдем
Величина Sm(t) в этих выражениях называется мгновенной амплитудой, или огибающей, сигнала, а величина ψ(t) — мгновенной фазой сигнала. Производная от мгновенной фазы во времени (если она существует), называется мгновенной круговой частотой сигнала:
Из формулы (2.31) следует, что Sm(t) ≥ S(t), причем равенство имеет место при тех значениях t, для которых S(t) > 0. Легко убедиться, что в этих точках производная огибающей совпадает с производной сигнала, т.е. Sm(t) = S(t) (откуда и название — огибающая сигнала).
Узкополосные сигналы
В радиотехнике и ТЭС широко применяются так называемые узкополосные сигналы, которые являются полосовыми со спектром, показанным на рис. 2.16, но ширина их спектра значительно меньше средней частоты, т.е. (Формула), где (Формула), а (Формула)— соответственно средняя, максимальная и минимальная частоты спектра сигнала.
Рис. 2.16. Спектр полосового сигнала
Для узкополосных сигналов (и помех) представления (2.28) и (2.29) особенно удобны, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно изменяющимися функциями по сравнению с cosψ(t) и, следовательно, по сравнению с самим сигналом S(t). При этом формулу (2.29) удобно записать следующим образом:
причем
Возможно и преобразование соотношения (2.28) вида
Здесь
представляет собой функцию времени, называемую комплексной огибающей сигнала S(t). Модуль этой функции является обычной огибающей, а аргумент — мгновенной начальной фазой θ(t).
Комплексную огибающую можно также представить в виде
Здесь действительные функции времени (Формула) и (Формула) являются квадратурными составляющими комплексной огибающей или низкочастотными квадратурными составляющими. С их помощью сигнал можно представить в виде суммы:
что следует из выражений (2.34) и (2.37).
Учитывая «медленность» изменения функций (Формула) и (Формула) по сравнению с (Формула) и (Формула) из выражений (2.38) можно получить сопряженный сигнал:
Подставив выражения (2.38) и (2.39) в формулу (2.31), нетрудно убедиться, что Sm(t) — огибающая сигнала.
Схема, изображенная на рис. 2.17, иллюстрирует процесс формирования низкочастотных квадратурных составляющих сигнала.
Обратим особое внимание на следующее: нельзя путать понятия спектральных составляющих и мгновенной частоты, так как в первом случае частоты, входящие в спектр, не зависят от времени, а во втором — мгновенная частота есть функция времени, которая определяет скорость изменения фазы. Спектр сигнала можно измерить с помощью прибора — спектроанализатора, который выполняет приближенное преобразование Фурье. Мгновенная частота измеряется частотным детектором, работа которого будет рассмотрена далее, но по существу он реализует выражение (2.33).
Рис. 2.17. Схема формирования квадратурных составляющих узкополосного сигнала
