Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма


Элементы функциональных пространств

В ТЭС при решении задач возникают, в первую очередь, следующие вопросы.

  1. Какой величиной можно охарактеризовать сигнал?
  2. Каким образом любой сигнал можно представить в виде совокупности более простых элементов?
  3. Как сравнивать между собой разные сигналы?

Эти и многие другие вопросы можно решить с помощью методов функционального анализа, основанных на использовании понятия пространств с различными свойствами.

В современной математике пространство (П) определяется как множество каких-либо объектов, называемых его точками (это могут быть векторы, функции, состояния физической системы, геометрические фигуры и т.д.), причем между этими точками заданы некоторые соотношения, определяющие геометрию пространства. В соответствии с этими соотношениями различают линейные, метрические и нормированные пространства. Существуют также пространства, обладающие сразу несколькими свойствами. Например, евклидово пространство Rn представляет собой линейное метрическое пространство с размерностью n, где элементами являются векторы, и норма вводится через скалярное произведение этих векторов.

Дадим определения линейного пространства (ЛП), метрики и нормы.

Обозначим х, у, z точки или элементы пространства:
1) (Формула) — векторы (действительные или комплексные);
2) x = x(t), y = y(t), z = z(t), — функции (действительные или комплексные);
3) другие элементы.

«Линейным» (L) называется пространство, в котором выполняются следующие правила сложения элементов и умножения их на скаляр α.

А. Для любых х, у ∊ L однозначно определяется третий элемент, принадлежащий этому же пространству z ∊ L и называемый суммой x и у, для которого справедливы следующие условия:
1) х + у = у + х — коммутативность;
2) x + (у + z) = (х + у) + z — ассоциативность;
3) x + 0 = x для всех x ∊ L, где 0 — нулевой элемент;
4) x + (−х) = 1 для всех x ∊ L, где x — противоположный элемент, 1 — единичный элемент.

Б. Имеется множество элементов, называемых скалярами, и введена операция, называемая умножением на скаляр, при которой для любого α и любого x ∊ L определен элемент αx ∊ L, при этом:
1) α(βx) = (αβ)x;
2) 1x = x;
3) (α + β)χ — ах + βχ;
4) а(х + у) = ах + ау.

Например, прямая линия или совокупность действительных чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения представляют собой линейное пространство R1, а множество всех аналоговых сигналов, отличных от нуля в интервале времени от t1 до t2 и равных нулю вне этого интервала, — линейное пространство L2.

Линейное пространство, как и обычное трехмерное пространство, имеет некоторую систему координат (СК). В качестве СК используется конечная или бесконечная совокупность элементов — векторов или функций {х1, х2, …, xn}, принадлежащих пространству L и являющихся линейно независимым координатным базисом, т.е. базисом, для которого равенство (Формула) возможно лишь в случае, если все (Формула). Это равенство означает, что в линейно независимом множестве элемент является линейной комбинацией других элементов.

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Рис. 2.6. Разложение вектора на составляющие в трехмерном пространстве

Любой элемент линейного пространства можно представить в виде разложения по координатному базису (Формула):
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма(2.1)  — проекции элемента x относительно выбранного базиса.

В случае когда элементами пространства являются векторы (действительные или комплексные), разложение (2.1) имеет вид
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Если же элементы линейного пространства представляют собой функции (действительные или комплексные), выражение (2.1) будет иметь вид
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаЧисло n называется размерностью линейного пространства. Любое множество n линейно независимых векторов в ЛП может служить его базисом, следовательно, ЛП имеет не один базис.

Например, вектор в обычном трехмерном пространстве можно записать следующим образом:
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормагде x1, x2, x3 — проекции вектора (Формула) на оси координат, называемые его координатами; Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма — взаимно-перпендикулярные единичные векторы (координатный базис, орты или оси координат);

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма — составляющие вектора (Формула) (рис. 2.6).

Следующей ступенью в усовершенствовании структуры пространства является установление расстояния между его элементами, которое также называется «метрикой». Иными словами, каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется функционал d(x, у) = R — метрика, обладающая следующими свойствами:
1) d(x, у) ≥ 0 и d(x, у) = 0 только в случае, если x = у;
2) d(x, у) = d(y, x) — симметрия;
3) d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) — неравенство треугольника.

Эти свойства интуитивно понятны, так как известно:

  • расстояние — это неотрицательная величина;
  • расстояние от x до у равно расстоянию от у до х;
  • длина одной стороны треугольника не может превосходить сумму длин двух других его сторон.

Например, множество действительных чисел с расстоянием d(x, у) = |х − у| является метрическим пространством.

Объединим геометрические свойства, характерные для метрических пространств, и алгебраические свойства линейных пространств. Это можно сделать, если определить действительное число, характеризующее «размер» элемента в ЛП. Такое число называется нормой элемента и обозначается ||х||.

Норма должна удовлетворять следующим аксиомам:

  1. ||х|| ≥ 0;
  2. ||αх|| = |α| ||х||;
  3. ||х + y|| ≤ ||х|| + ||y||.

С учетом аксиомы о наличии у каждого элемента противоположного ему элемента в качестве метрики можно выбрать величину d(x, y) = ||х − y||. Тогда ЛП становится нормированным линейным пространством. Заметим, что если x — это вектор, то норма — это его длина, или расстояние от конца вектора до начала координат.

Последним шагом в развитии структуры пространства является введение дополнительной геометрической характеристики — скалярного произведения двух элементов (х, у). Определим это произведение для комплексного линейного пространства. Тогда скалярное произведение для действительного пространства будет его частным случаем.

Скалярное произведение должно удовлетворять следующим условиям:
1) (x, y) = (y, x)*, где звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина;
2) (αх, y) = α(х, y);
3) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
4) (x, x) ≥ 0.

Важным следствием приведенного определения скалярного произведения является то, что величина является нормой в линейном пространстве.

С другой стороны, т.е. скалярное произведение определяет норму, которая в свою очередь определяет метрику. Следовательно, при введении указанной метрики пространство со скалярным произведением становится метрическим.

Линейное метрическое пространство, в котором норма вводится с помощью скалярного произведения, называется «евклидовым пространством», или «пространством Евклида».

В заключение отметим одно важное свойство. Два элемента пространства х и у называются ортогональными только в том случае, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (x, y) = 0.

Пространства, применяемые в теории электрической связи

Пространство Евклида (Rn). Элементами данного пространства являются либо вещественные векторы, либо комплексные векторы с размерностью n. Соответственно в первом случае имеем вещественное пространство Евклида (ВПЕ), а во втором — комплексное пространство Евклида (КПЕ).

Разложение вектора по координатному базису в ВПЕ имеет вид (2.2).

Скалярное произведение векторов х и у в этом случае
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

норма вектора определяется соотношением
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

а метрика вычисляется как
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

В КПЕ скалярное произведение двух комплексных векторов (Формула) запишем в виде
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

где * — обозначение комплексного сопряжения.


Норма в этом случае имеет вид
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

а метрика определяется выражением
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Например, если дано КПЕ с размерностью
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

где (Формула) — произвольные точки пространства, норму и метрику элемента в данном пространстве соответственно можно определить следующим образом:
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаЭлементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаПространство Гильберта. При стремлении n к бесконечности ВПЕ и КПЕ преобразуются соответственно в бесконечномерные вещественное пространство Гильберта (ВПГ) и комплексное пространство Гильберта (КПГ). Элементами этих пространств являются вещественные x(t) или комплексные (Формула) функции времени, которые могут быть заданы либо в конечном интервале времени (например, (Формула) или t ∊ [0, T]), либо в бесконечном интервале времени: t ∊ (−∞, ∞). Пространства Гильберта при этом соответственно обозначаются (Формула) или (Формула).

Рассмотрим случай ограниченного интервала времени Т. Тогда для ВПГ (Формула) скалярное произведение определяется в виде
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норманорма
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаа метрика (расстояние между точками ВПГ задается соотношением
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаПусть x(t) — напряжение на резисторе с сопротивлением 1 Ом. Тогда (Формула) — мгновенная мощность, а квадрат нормы — это энергия, выделяемая на резисторе за время Т.

Заметим, что если в ВПГ сигналы x(t) и y(t) ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаДля КПГ характеристики пространства вводятся следующим образом.

Скалярное произведение
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаЕсли в качестве (Формула) и (Формула) рассматриваются комплексные сигналы, то при равенстве скалярного произведения этих сигналов нулю их считают ортогональными в усиленном смысле. Впервые это понятие ввел Л.М. Финк.

В каналах связи со случайной фазой применение сигналов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает наибольшую помехоустойчивость (см. гл. 8). Это объясняется следующим свойством этих сигналов: при сдвиге фаз составляющих какого-либо сигнала на произвольный угол их ортогональность сохраняется.

Норма в КПГ определяется следующим образом:
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаа метрика задается выражением
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, нормаРассмотрим теперь характеристики пространства (Формула) в случае, когда t ∊ (−∞, ∞). Возьмем КПГ, в котором элементы пространства — это комплексные функции, заданные в бесконечном интервале времени. Очевидно, что соотношение характеристик ВПГ определяется соотношением характеристик КПГ, если перейти от комплексных функций к вещественным. Здесь возможны два варианта:
1) Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма — это функции, интегрируемые с квадратом (норма и энергия ограничены);
2)

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма— это функции, неинтегрируемые с квадратом (норма и энергия неограничены).

Второй вариант возможен, например, для периодического сигнала, у которого энергия бесконечна.

В первом варианте скалярное произведение, норма и метрика определяются выражениями (2.4), (2.5), (2.6), если в интегралах, входящих в эти выражения, конечные пределы заменить на бесконечные (−∞, ∞).

Во втором варианте скалярное произведение определяется следующим образом:

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма
а норма и метрика вводятся через скалярное произведение:

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Разложение произвольного сигнала x(t) по базису пространства (Формула) или (Формула) имеет вид (2.3).

Пример 2.1. Вычислим норму радиоимпульса с прямоугольной формой огибающей (рис 2.7).

Импульс существует на отрезке времени t ∊ (0, T) и описывается функцией (Формула).

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Рис. 2.7. Радиоимпульс с прямоугольной формой огибающей

В соответствии с выражением (2.5), учитывая пределы интегрирования (0, Т), запишем
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма.

Если длительность импульса намного больше периода высокочастотного колебания, т.е. (Формула), то независимо от значений (Формула) и (Формула)
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Пример 2.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию характеристик пространства (Формула) для четырехпозиционного сигнала с фазовой модуляцией (ФМ4), который можно задать соотношением

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Норма этого сигнала
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма
где Ε — энергия сигнала, постоянная для всех значений j.

Представим сигнал Sj(t) в виде
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Введем базисные функции:
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Эти функции являются ортонормированными (т. е. их скалярное произведение равно нулю, а норма равна единице) и линейно независимыми. Им соответствуют взаимно-перпендикулярные оси, которые обозначим (Формула) и (Формула). Разложение по координатному базису для сигнала Sj(t) имеет вид

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма

Совокупность из двух чисел для j = 0, 1, 2, 3 задает вектор в двухмерном пространстве (см. рис. 5.4, а).

Точки, соответствующие концам векторов, отмеченные на рис. 5.4, а называются сигнальными, а полученная фигура — соответственно сигнальным созвездием для сигнала ФМ4.

Расстояние между сигналами Sk(t) и Si(t) определяется непосредственно как расстояние между сигнальными точками: dm = = du = 2yiE~; dm = dn = d22 = d}0 = yf2E.

Здесь и далее встречается запись амплитуды сигнала в виде (Формула), тогда как в литературе обычно гармоническое колебание определяется выражением

Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма
где Uc — максимальное значение амплитуды, которое в (Формула) раз больше ее эффективного значения, т.е. Uc = v2Ucp.

Если сигнал считать током или напряжением на нагрузке с сопротивлением 1 Ом, то его средняя мощность (Формула). Тогда (Формула). Так как Р = Ε / Τ (где Ε — средняя энергия, Τ — длительность элемента сигнала) окончательно запишем
Элементы функциональных пространств: линейное пространство, метрика, норма


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: