Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсеваля


Для непериодических сигналов S1(t) и S2(t) функция взаимной корреляции определяется следующим выражением:
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсевалягде τ > 0 — некий временной отрезок.

С учетом приведенных ранее свойств преобразования Фурье запишем:

Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—ПарсеваляПонятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсевалягде S*(jω) — величина, комплексно-сопряженная с S(jω).

Можно записать также следующее выражение:
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсеваляиз которого при τ = 0 несложно получить
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—ПарсеваляПоследнее выражение представляет собой «обобщенную формулу Рэлея—Парсеваля», которая показывает, что скалярное произведение двух комплексных сигналов выражается через их спектральные плотности.

Введенная функция взаимной корреляции позволяет с единых позиций описывать различие сигналов по форме, а также их взаимное расположение на оси времени. Поясним это на примере.


Пусть сигналы S1(t) и S2(t) ортогональны, т.е.
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсеваля

При прохождении этих сигналов через различные устройства в некоторых случаях оказывается, что сигнал S2(t) будет сдвинут на время τ относительно сигнала S1(t), и наоборот. Поэтому взаимокорреляционную функцию можно считать мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Помимо данной характеристики для количественной оценки степени отличия сигнала S(t) и его же смещенной во времени копии S(t + τ) вводят автокорреляционную функцию, равную скалярному произведению сигнала и его копии.

В приведенном ранее выражении заменим S1(t) = S2(t) = S(t), тогда
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—Парсеваля

При τ = 0 получим равенство Парсеваля для непериодических сигналов:
Понятие функции корреляции: свойства автокорреляционной функции, формула Рэлея—ПарсеваляПоясним физический смысл этого равенства: если считать S(t) напряжением или током на нагрузке 1 Ом, то полная энергия сигнала, развиваемая на этой нагрузке, будет равна энергии всех его частотных составляющих.

Отметим кратко свойства автокорреляционной функции.

  1. Ее четность, т. е. Bs(τ) = −Bs(τ). Заметим также, что функция взаимной корреляции не является четной относительно аргумента τ
  2. При любом значении временного сдвига τ модуль автокорреляционной функции не превосходит энергии сигнала: | Βs{τ)| ≤ Βs(0) = Es.
  3. Автокорреляционная функция имеет вид симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положительный. В зависимости от вида сигнала S(t) эта кривая может быть монотонно убывающей или колеблющейся.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: