Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания


Спектральное представление колебаний

Спектральное представление периодических колебаний

При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с колебаниями, описываемыми периодическими функциями вида S(t) = S(t±kT), где k = 1, 2, …; Τ — период (рис. 2.9).

Зададим на отрезке полную систему тригонометрических ортогональных функций:

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаниягде ω1 = 2π / T — основная частота.

Выбор такого базиса наиболее распространен, так как в результате его использования обеспечиваются:
• сравнительная простота формирования гармонических колебаний;
• инвариантность сигналов относительно их преобразований в линейных электрических цепях (ЛЭЦ). При прохождении через ЛЭЦ изменяются только амплитуда и начальная фаза составляющих.

В этом случае для сигнала S(t) обобщенный ряд Фурье будет иметь вид
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияЗдесь коэффициенты разложения
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияоткуда видно, что периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний с частотами (Формула), которые являются кратными основной частоте.

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Рис. 2.9. Пример периодической функции

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Рис. 2.10. Амплитудная спектральная диаграмма периодического сигнала

Представим коэффициенты разложения в виде
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаниягде Ак — амплитуда; фк — начальная фаза.

Тогда ряд Фурье можно записать в другой эквивалентной форме:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияВыражение (2.12) можно интерпретировать графически как сумму гармоник с частотами, кратными основной частоте f1 = 1 / T , амплитудами Аk и начальными фазами φk. При этом различают амплитудный и фазовый спектры.

Амплитудный спектр показан на рис. 2.10.

Рассмотрим теперь комплексную форму записи сигнала в виде ряда Фурье. В этом случае в качестве базисных функций применяются комплексные экспоненты:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

где k = 0, ±1, ±2, …; j — мнимая единица.

Такая система также является полной.

Соответственно обобщенный ряд Фурье, известный как ряд Фурье в комплексной форме, приобретает следующий вид:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияЗдесь комплексная амплитуда k-й гармоники
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаниясвязана с Аk, αk, bk, φk следующими выражениями:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияИз этих выражений следует, что фазовый угол φk является нечетной функцией относительно k, т. е. относительно частоты, а модуль комплексной амплитуды Аk — четной.

Как видно из соотношения (2.13), суммирование распространено на положительные (k) и отрицательные (−k) частоты. Последние имеют фиктивный характер. Действительную составляющую (Формула) сигнала с частотой (Формула) получают как сумму двух комплексных функций:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаният. е. происходит взаимное уничтожение мнимых частей.

Отметим также, что спектр периодического сигнала является дискретным и бесконечным. С увеличением периода следования сигналов разность частот между соседними гармониками уменьшается, т. е. спектр сгущается.

Из формул (2.11) и (2.14) видно, что изменение периода T сказывается на значении амплитуд спектральных составляющих: с увеличением Τ амплитуды уменьшаются. Однако форма спектра амплитуд при этом сохраняется.

Пример 2.3. Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой Е, длительностью (Формула) и периодом следования Т.


Итак, пусть
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияПо формуле (2.14) находим
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияКомплексная амплитуда (Формула) пропорциональна функции вида (Формула) и содержит только вещественную часть, т. е.
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияНачальные фазы гармоник следующие: φ = 0, в интервалах частот (Формула), где n = 0, 2, 4, …

φk = ±π в интервалах частот (Формула), n = 1, 3, 5, …

С учетом этих соотношений ряд Фурье (2.13) для последовательности прямоугольных импульсов можно записать в виде
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияПример 2.4. Периодическая последовательность двухполярных импульсов ±Е задана в виде
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияПредставим S1(t) как результат суммирования однополярных импульсов с амплитудой 2Е и постоянной составляющей −Е, т. е. получим выражение
S1(t) = 2S(t) − E.

Подставив в это выражение S1(t) в виде (2.15), получим ряд Фурье для S1(t):
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияСпектральное представление непериодических колебаний

Рассмотренные ранее периодические сигналы на практике почти не встречаются. В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами и помехами, которые по существу являются непериодическими и к которым аппарат рядов Фурье не применим. Поэтому вместо них используют интегралы Фурье. Такое представление получают посредством перехода от ряда Фурье при стремлении периода повторения сигнала к бесконечности, т.е. T → ∞ или f1 = 1 / T = ω1 / (2π) → 0.

Рассмотрим вновь ряд Фурье в экспоненциальной форме:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаниягде Δω = ω1 = [kω1 − (k − 1)ω1] — разность между частотами соседних гармоник, k = 1, 2, …

Определим комплексную спектральную плотность в видеСпектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

При Δω → 0 интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, поэтому сумму можно заменить интегралом:
Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебанияДля нахождения комплексной спектральной плотности S(jω), или комплексного спектра, можно использовать выражение

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебаниякоторое следует из формулы (2.14) для комплексной амплитуды и отличается от нее только наличием множителя 2 / Т.

Выражения (2.17) и (2.18) имеют фундаментальное значение в ТЭС. Первое из них называется «обратным преобразованием Фурье» для сигнала S(t), или «операцией синтеза», поскольку с его помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Второе выражение называется «прямым преобразованием Фурье», или «операцией анализа» сигнала на основе определения его спектральных составляющих. В символической записи соответствие между сигналом S(t) и его преобразованием Фурье S(jω) отображается следующим образом: S(t) ⇄ S(jω).

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

Таблица 2.1.

С учетом четности модуля S(ω) и нечетности фазы φ(ω) обратное преобразование Фурье (2.17) можно записать в виде.

Спектральное представление колебаний: периодических, непериодические колебания

В соответствии с выражением (2.17) и последней формулой непериодическое колебание S(t) можно рассматривать как сумму комплексных экспоненциальных составляющих или сумму гармонических составляющих , частоты которых располагаются бесконечно близко друг к другу. На основании этого можно говорить о непрерывном, или сплошном, спектре непериодического колебания.

Бесконечно малые амплитуды составляющих определяются выражением Am = с|S(jω)|dω, где (Формула) для формулы (2.17) или с учетом четности модуля S(ω), т.е. |S(jω)| отражает спектральную (частотную) плотность амплитуд составляющих. Другими словами, |S(jω)| — это амплитуда, отнесенная к бесконечно малой полосе частот dω.

Особенностью комплексного спектра является его распространение как в положительной, так и в отрицательной области частот. Следовательно, двум составляющим частот ω и −ω со спектральной плотностью комплексного спектра соответствует одна гармоническая составляющая частоты ω со спектральной плотностью |S(jω)|.

Сопоставив формулы (2.18) и (2.14) для непериодического колебания и периодического колебания, полученного из исходного непериодического сигнала посредством его периодического продолжения, можно сделать вывод о том, что спектры таких колебаний совпадают по форме и отличаются лишь масштабом.

В табл. 2.1 приведены результаты расчетов S(jω) для колебаний (импульсов) различной формы.


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все об энергетике, электротехнике и электронике
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: